Documentation

Mathlib.Data.Finset.Sigma

Finite sets in a sigma type #

This file defines a few Finset constructions on Σ i, α i.

Main declarations #

TODO #

Finset.sigmaLift can be generalized to any alternative functor. But to make the generalization worth it, we must first refactor the functor library so that the alternative instance for Finset is computable and universe-polymorphic.

def Finset.sigma {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} (s : Finset ι) (t : (i : ι) → Finset (α i)) :
Finset ((i : ι) × α i)

s.sigma t is the finset of dependent pairs ⟨i, a⟩ such that i ∈ s and a ∈ t i.

Equations
  • s.sigma t = { val := s.val.sigma fun (i : ι) => (t i).val, nodup := }
Instances For
    @[simp]
    theorem Finset.mem_sigma {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {s : Finset ι} {t : (i : ι) → Finset (α i)} {a : (i : ι) × α i} :
    a s.sigma t a.fst s a.snd t a.fst
    @[simp]
    theorem Finset.coe_sigma {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} (s : Finset ι) (t : (i : ι) → Finset (α i)) :
    (s.sigma t) = (↑s).sigma fun (i : ι) => (t i)
    @[simp]
    theorem Finset.sigma_nonempty {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {s : Finset ι} {t : (i : ι) → Finset (α i)} :
    (s.sigma t).Nonempty is, (t i).Nonempty
    theorem Finset.Aesop.sigma_nonempty_of_exists_nonempty {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {s : Finset ι} {t : (i : ι) → Finset (α i)} :
    (∃ is, (t i).Nonempty)(s.sigma t).Nonempty

    Alias of the reverse direction of Finset.sigma_nonempty.

    @[simp]
    theorem Finset.sigma_eq_empty {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {s : Finset ι} {t : (i : ι) → Finset (α i)} :
    s.sigma t = is, t i =
    theorem Finset.sigma_mono {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {s₁ : Finset ι} {s₂ : Finset ι} {t₁ : (i : ι) → Finset (α i)} {t₂ : (i : ι) → Finset (α i)} (hs : s₁ s₂) (ht : ∀ (i : ι), t₁ i t₂ i) :
    s₁.sigma t₁ s₂.sigma t₂
    theorem Finset.pairwiseDisjoint_map_sigmaMk {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {s : Finset ι} {t : (i : ι) → Finset (α i)} :
    (↑s).PairwiseDisjoint fun (i : ι) => Finset.map (Function.Embedding.sigmaMk i) (t i)
    @[simp]
    theorem Finset.disjiUnion_map_sigma_mk {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {s : Finset ι} {t : (i : ι) → Finset (α i)} :
    s.disjiUnion (fun (i : ι) => Finset.map (Function.Embedding.sigmaMk i) (t i)) = s.sigma t
    theorem Finset.sigma_eq_biUnion {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} [DecidableEq ((i : ι) × α i)] (s : Finset ι) (t : (i : ι) → Finset (α i)) :
    s.sigma t = s.biUnion fun (i : ι) => Finset.map (Function.Embedding.sigmaMk i) (t i)
    theorem Finset.sup_sigma {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {β : Type u_3} (s : Finset ι) (t : (i : ι) → Finset (α i)) (f : (i : ι) × α iβ) [SemilatticeSup β] [OrderBot β] :
    (s.sigma t).sup f = s.sup fun (i : ι) => (t i).sup fun (b : α i) => f i, b
    theorem Finset.inf_sigma {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {β : Type u_3} (s : Finset ι) (t : (i : ι) → Finset (α i)) (f : (i : ι) × α iβ) [SemilatticeInf β] [OrderTop β] :
    (s.sigma t).inf f = s.inf fun (i : ι) => (t i).inf fun (b : α i) => f i, b
    theorem biSup_finsetSigma {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {β : Type u_3} [CompleteLattice β] (s : Finset ι) (t : (i : ι) → Finset (α i)) (f : Sigma αβ) :
    ijs.sigma t, f ij = is, jt i, f i, j
    theorem biSup_finsetSigma' {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {β : Type u_3} [CompleteLattice β] (s : Finset ι) (t : (i : ι) → Finset (α i)) (f : (i : ι) → α iβ) :
    is, jt i, f i j = ijs.sigma t, f ij.fst ij.snd
    theorem biInf_finsetSigma {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {β : Type u_3} [CompleteLattice β] (s : Finset ι) (t : (i : ι) → Finset (α i)) (f : Sigma αβ) :
    ijs.sigma t, f ij = is, jt i, f i, j
    theorem biInf_finsetSigma' {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {β : Type u_3} [CompleteLattice β] (s : Finset ι) (t : (i : ι) → Finset (α i)) (f : (i : ι) → α iβ) :
    is, jt i, f i j = ijs.sigma t, f ij.fst ij.snd
    theorem Set.biUnion_finsetSigma {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {β : Type u_3} (s : Finset ι) (t : (i : ι) → Finset (α i)) (f : Sigma αSet β) :
    ijs.sigma t, f ij = is, jt i, f i, j
    theorem Set.biUnion_finsetSigma' {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {β : Type u_3} (s : Finset ι) (t : (i : ι) → Finset (α i)) (f : (i : ι) → α iSet β) :
    is, jt i, f i j = ijs.sigma t, f ij.fst ij.snd
    theorem Set.biInter_finsetSigma {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {β : Type u_3} (s : Finset ι) (t : (i : ι) → Finset (α i)) (f : Sigma αSet β) :
    ijs.sigma t, f ij = is, jt i, f i, j
    theorem Set.biInter_finsetSigma' {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {β : Type u_3} (s : Finset ι) (t : (i : ι) → Finset (α i)) (f : (i : ι) → α iSet β) :
    is, jt i, f i j = ijs.sigma t, f ij.fst ij.snd
    def Finset.sigmaLift {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {β : ιType u_3} {γ : ιType u_4} [DecidableEq ι] (f : i : ι⦄ → α iβ iFinset (γ i)) (a : Sigma α) (b : Sigma β) :

    Lifts maps α i → β i → Finset (γ i) to a map Σ i, α i → Σ i, β i → Finset (Σ i, γ i).

    Equations
    Instances For
      theorem Finset.mem_sigmaLift {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {β : ιType u_3} {γ : ιType u_4} [DecidableEq ι] (f : i : ι⦄ → α iβ iFinset (γ i)) (a : Sigma α) (b : Sigma β) (x : Sigma γ) :
      x Finset.sigmaLift f a b ∃ (ha : a.fst = x.fst) (hb : b.fst = x.fst), x.snd f (haa.snd) (hbb.snd)
      theorem Finset.mk_mem_sigmaLift {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {β : ιType u_3} {γ : ιType u_4} [DecidableEq ι] (f : i : ι⦄ → α iβ iFinset (γ i)) (i : ι) (a : α i) (b : β i) (x : γ i) :
      i, x Finset.sigmaLift f i, a i, b x f a b
      theorem Finset.not_mem_sigmaLift_of_ne_left {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {β : ιType u_3} {γ : ιType u_4} [DecidableEq ι] (f : i : ι⦄ → α iβ iFinset (γ i)) (a : Sigma α) (b : Sigma β) (x : Sigma γ) (h : a.fst x.fst) :
      xFinset.sigmaLift f a b
      theorem Finset.not_mem_sigmaLift_of_ne_right {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {β : ιType u_3} {γ : ιType u_4} [DecidableEq ι] (f : i : ι⦄ → α iβ iFinset (γ i)) {a : Sigma α} (b : Sigma β) {x : Sigma γ} (h : b.fst x.fst) :
      xFinset.sigmaLift f a b
      theorem Finset.sigmaLift_nonempty {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {β : ιType u_3} {γ : ιType u_4} [DecidableEq ι] {f : i : ι⦄ → α iβ iFinset (γ i)} {a : (i : ι) × α i} {b : (i : ι) × β i} :
      (Finset.sigmaLift f a b).Nonempty ∃ (h : a.fst = b.fst), (f (ha.snd) b.snd).Nonempty
      theorem Finset.sigmaLift_eq_empty {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {β : ιType u_3} {γ : ιType u_4} [DecidableEq ι] {f : i : ι⦄ → α iβ iFinset (γ i)} {a : (i : ι) × α i} {b : (i : ι) × β i} :
      Finset.sigmaLift f a b = ∀ (h : a.fst = b.fst), f (ha.snd) b.snd =
      theorem Finset.sigmaLift_mono {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {β : ιType u_3} {γ : ιType u_4} [DecidableEq ι] {f : i : ι⦄ → α iβ iFinset (γ i)} {g : i : ι⦄ → α iβ iFinset (γ i)} (h : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄ ⦃b : β i⦄, f a b g a b) (a : (i : ι) × α i) (b : (i : ι) × β i) :
      theorem Finset.card_sigmaLift {ι : Type u_1} {α : ιType u_2} {β : ιType u_3} {γ : ιType u_4} [DecidableEq ι] (f : i : ι⦄ → α iβ iFinset (γ i)) (a : (i : ι) × α i) (b : (i : ι) × β i) :
      (Finset.sigmaLift f a b).card = if h : a.fst = b.fst then (f (ha.snd) b.snd).card else 0